Hiòng-liōng khong-kan

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向量 (Hiòng-liōng)空間 (khong-kan) ()數學 (sò͘-ha̍k)內底 (lāi-tóe)號做 (hō-chò)線性 (sòaⁿ-sèng)代數 (tāi-sò͘) (ê)一支 (chı̍t-ki) (teh)研究 (gián-kiù)物件 (mi̍h-kiāⁿ)

一般 (It-poaⁿ) (lán) (kóng)͘的幾何學 (kí-hô-ha̍k)向量,咱 ()斟酌 (chim-chiok)分拆 (hun-thiah)伊的 (i-ê)性質 (sèng-chit)了解 (liáu-kái) (i)兩个 (nn̄g-ê)基本 (ki-pún)運算 (ūn-sǹg) (頁就是 (ia̍h-tio̍h-sī)向量加法 (ka-hoat) (kap)醇量 (sûn-liōng)乘法 (sêng-hoat)) (kap)一寡仔 (chı̍t-kóa-á)限制 (hān-chè),咱 (tio̍h)會當 (ē-tàng)揣著 (chhōe-tio̍h)一套 (chı̍t-thò)公設 (kong-siat) (lâi)描述 (biâu-su̍t)這个 (chit-ê)號做向量空間的物件。

(Chiàu)按呢 (án-ne)來講,向量毋但 (m̄-nā)是幾何學的向量若定 (nā-tiāⁿ)不管 (Put-koán)啥物 (siáⁿ-mi̍h)數學的 (mi̍h),若佮這套 (chit-thò)公設 (ū) (),就 (sǹg)是向量。比論講 (Pí-lūn-kóng)干焦 (kan-taⁿ) (ēng)實數 (si̍t-sò͘) (chò)係數 (hē-sò͘)濟項式 (chōe-hāng-sek)成做 (chiâⁿ-chò)一个 (chı̍t-ê)向量空間。向量空間有 (chia)͘的抽象 (thiu-siōng)特性 (te̍k-sèng) ()數學有誠大 (chiâⁿ-tōa)路用 (lō͘-iōng)

正式 (Chèng-sek)定義 (tēng-gī)[修改]

向量空間是 (tùi)一个 (thé)F (親像 (chhin-chhiūⁿ)實數就是 (chiū-sī)一个體,複雜數 (ho̍k-cha̍p-sò͘) ()是體) 成城 (chiâⁿ-sêng)集合 (chı̍p-ha̍p)V而且 (jî-chhiáⁿ) (ài)兩項 (nn̄g-hāng)運算:

  • 向量加法,用v+w標記 (phiau-kì),遮講的 (kóng-ê)vw (lóng)V成員 (sêng-oân)
  • 純量 (sûn-liōng)乘法,用av來標記,遮講的 (a)F的成員,vV的成員,

(Chit)兩項運算愛遵照 (chun-chiàu)下跤 (ē-kha)十條 (cha̍p-tiâu)公設的規定 (kui-tēng):

  1. 向量加法愛翕風 (hip-hong)就是 (tio̍h-sī)講,若是 (nā-sī)uv攏是V的成員(紀左 (kì-chò)uvV),u+v定著 (tiāⁿ-tio̍h)V的成員 (紀左u+vV)。
  2. 純量乘法愛翕風,就是講,若是aF,而且vVav定著愛是V (è)成員。
  3. 向量加法愛有結合 (kiat-ha̍p)法則 (hoat-chek),就是講,若是uvwV,定著u + (v + w) = ( (u) + v) + w
  4. 向量加法愛有交換 (kau-oāⁿ)法則,就是講,若是vwV,定著v + w = w + v
  5. 向量加法愛有行員 (lêng-oân),就是講,佇V內底愛有 (chı̍t) (ê)0,號做零向量 (lêng-hiòng-liōng),不管佗一个 (tó-chı̍t-ê)vV,定著v + 0 = v
  6. 向量加法愛有玉員 (ge̍k-oân),就是講,不管佗一个vV,咱就會當揣著一个wV (hō͘)v+w=0。這个w號做v的加法玉員。
  7. 純量乘法愛有結合法則,就是講,若是abFvV,定著a(b v) = (ab)v
  8. 純量乘法愛有單位員 (tan-ūi-oân),就是講,佇F內底愛有一个1,不管佗一个vV,定著1 v = v
  9. 純量乘法對向量加法愛有分配 (hun-phòe)法則,就是講,若是aF,而且vwV,定著a(v+w) = av + aw
  10. 純量乘法對體的加法嘛有分配法則,就是講,若是abF,而且vV,定著 (a+b)v = av + b v

V的成員號做向量,F的成員號做純量。大部分 (Tōa-pō͘-hūn)辦世 (pān-sè)純量若毋是 (m̄-sī)實數就是複雜數。若 (beh)判斷 (phoàⁿ-toàn)這个物件是m̄是向量空間,咱著愛 (tio̍h-ài)講明 (kóng-bêng)FV,定義V的向量加法甲醇量乘法。頂懸 (Téng-koân)十的 (cha̍p-ê)公設是必要 (pit-iàu)沖恨 (chhiong-hūn)條件 (tiâu-kiāⁿ)

基本的性質[修改]

遮的 (chia-ê)公設會當看出 (khoàⁿ-chhut)一寡仔向量空間的性質。

  • V內底干焦有一个零向量.

    若是講V內底有兩个無仝 (bô-kâng)的零向量0102,照 ()5 (tiâu)管設 (kóng-siat),不管佗一个vVv+01=v所以 (só͘-í)02+01=02閣來 (Koh-lâi)嘛是 (mā-sī)第5條,v+02=v,所以01+02=01。照第4條,02+01=01+02。所以02=01窮實 (khêng-sı̍t)0102就是 (kâng)一个物件。

  • 不管佗一个vV,若佮F的加法單位員做純量乘法,結果 (kiat-kó)一定 (it-tēng)是零向量,抑就是 (ia̍h-tio̍h-sī)0 v=0.

v+0 v = 1 v + 0 v --- 第8條
= (1+0)v --- 第10條
= 1 v --- F的性質
= v --- 第8條

閣來,照第5條,0 v就是零向量。零向量干焦有一个,所以0 v=0

  • 不管佗一个aFa0 = 0.

    若講 (Nā-kóng)a0,頂懸 (tio̍h)已經 (í-keng)討論架 (thó-lūn-kè)͘ (ah)。若毋是,根據 (kun-kù)體的性質,a愛有 (ài-ū)一个承發 (sêng-hoat)玉員a-1 。不管佗一个vV

v+a0 = 1 v+a0 --- 第8條 
= a'a-1 v + a0 --- F的性質
= a(a-1 v+0) --- 第9條
= aa-1 v --- 第5條
= v --- 第7 (tâu)

閣來,照第5條,a0就是零向量。零向量干焦有一个,所以a0=0

  • 若是av = 0,按呢毋是a=0,就是v=0

a毋是0v = 1 v = a-1av = a-1 0 = 0。佇v毋是0个辦世,若講a毋是0,照頭前 (thâu-chêng)講͘的,v愛是0 (chiah)著,所以a一定愛是0

  • V內底欲 (chhōe)任何 (jīm-hô)一个v額完 (ge̍k-oân)干焦揣有 (chhōe-ū)這个.

    若講v有兩个無仝的額完w1w2,照第6條,v+w1=v+w2=0等號 (Téng-hō)兩爿 (nn̄g-pêng) () (ka)w1w1+(v+w1) = w1+(v+w2)。照第3條佮第4條,w1+(v+w1) = (v+w1)+w2鎖以 (Só-í)w1+0=0+w2。照第四條 (tē-sì-tiâu)第五條 (tē-gō͘-tiâu)w1=w2窮實 (khêng-si̍t)w1w2就是仝一个 (kâng-chı̍t-ê)物件。

  • 若是 -1F內底承發單位圓 (tan-ūi-oân)的加法玉員,不管佗一个vV-1 v就是v的加法玉員,簡單 (kán-tan)寫做 (siá-chò) -v.

    v + -v = 1 v + -1 v = (1+-1)v = 0 v = 0,所以 -v就是v的加法玉員。

()[修改]

  • 自明 (Chū-bêng)的向量 (khong)kan

    Chū (bêng)向量空間的V就是 {0},內底干焦有一个零向量若定。向量加法甲醇量乘法嘛攏是自明的。

  • 本身 (pún-sin)嘛是一个向量空間。V就是F,向量加法甲醇量乘法就是佮體原底 (goân-tóe)的定義 (sio)siâng。

  • 座標 (Chō-phiau)空kan

    Tio̍h是一般 (it-poan)咱佇幾何學咧講的向量。

  • 無限 (Bû-hān)座標空間
  • 行列 (Hêng-lia̍t)
  • 濟項式