Hiòng-liōng khong-kan
正式 的定義 [修改]
向量空間是
- 向量加法，用v+w來
標記 ，遮講的 v佮w攏 是V的成員 ， 純量 乘法，用av來標記，遮講的亞 是F的成員，v是V的成員，
- 向量加法愛
翕風 ，就是 講，若是 u佮v攏是V的成員(紀左 u，v ∈ V)，u+v嘛定著 是V的成員 (紀左u+v ∈ V)。 - 純量乘法愛翕風，就是講，若是a ∈ F，而且v ∈ V，av定著愛是V
裔 成員。 - 向量加法愛有
結合 法則 ，就是講，若是u，v，w ∈ V，定著u + (v + w) = (於 + v) + w。 - 向量加法愛有
交換 法則，就是講，若是v，w ∈ V，定著v + w = w + v。 - 向量加法愛有
行員 ，就是講，佇V內底愛有一 个 0，號做零向量 ，不管佗一个 v ∈ V，定著v + 0 = v。 - 向量加法愛有
玉員 ，就是講，不管佗一个v ∈ V，咱就會當揣著一个w ∈ V，予 v+w=0。這个w號做v的加法玉員。 - 純量乘法愛有結合法則，就是講，若是a，b ∈ F，v ∈ V，定著a(b v) = (ab)v。
- 純量乘法愛有
單位員 ，就是講，佇F內底愛有一个1，不管佗一个v ∈ V，定著1 v = v。 - 純量乘法對向量加法愛有
分配 法則，就是講，若是a ∈ F，而且v，w ∈ V，定著a(v+w) = av + aw。 - 純量乘法對體的加法嘛有分配法則，就是講，若是a，b ∈ F，而且v ∈ V，定著 (a+b)v = av + b v。
V的成員號做向量，F的成員號做純量。
基本的性質[修改]
對
- V內底干焦有一个零向量.
若是講V內底有兩个
無仝 的零向量01佮02，照第 5條 管設 ，不管佗一个v ∈ V，v+01=v，所以 02+01=02。閣來 ，嘛是 第5條，v+02=v，所以01+02=01。照第4條，02+01=01+02。所以02=01，窮實 01佮02就是仝 一个物件。 - 不管佗一个v ∈ V，若佮F的加法單位員做純量乘法，
結果 一定 是零向量，抑就是 0 v=0.
v+0 v = 1 v + 0 v --- 第8條 = (1+0)v --- 第10條 = 1 v --- F的性質 = v --- 第8條
閣來，照第5條，0 v就是零向量。零向量干焦有一个，所以0 v=0。
- 不管佗一个a ∈ F，a0 = 0.
若講 a是0，頂懸著 已經 討論架 ͘壓 。若毋是，根據 體的性質，a愛有 一个承發 玉員a-1 。不管佗一个v ∈ V，
v+a0 = 1 v+a0 --- 第8條 = a'a-1 v + a0 --- F的性質 = a(a-1 v+0) --- 第9條 = aa-1 v --- 第5條 = v --- 第7投
閣來，照第5條，a0就是零向量。零向量干焦有一个，所以a0=0。
- 若是av = 0，按呢毋是a=0，就是v=0。
若a毋是0，v = 1 v = a-1av = a-1 0 = 0。佇v毋是0个辦世，若講a毋是0，照
- 佇V內底欲
揣 任何 一个v的額完 干焦揣有 這个.若講v有兩个無仝的額完w1佮w2，照第6條，v+w1=v+w2=0。
等號 兩爿 攏共 家 w1，w1+(v+w1) = w1+(v+w2)。照第3條佮第4條，w1+(v+w1) = (v+w1)+w2。鎖以 w1+0=0+w2。照第四條 佮第五條 ，w1=w2，窮實 w1佮w2就是仝一个 物件。 - 若是 -1是F內底承發
單位圓 的加法玉員，不管佗一个v ∈ V，-1 v就是v的加法玉員，簡單 寫做 -v.v + -v = 1 v + -1 v = (1+-1)v = 0 v = 0，所以 -v就是v的加法玉員。
尼 [修改]
自明 的向量空 kanChū
名 向量空間的V就是 {0}，內底干焦有一个零向量若定。向量加法甲醇量乘法嘛攏是自明的。- 體
體
本身 嘛是一个向量空間。V就是F，向量加法甲醇量乘法就是佮體原底 的定義相 siâng。 座標 空kanTio̍h是
一般 咱佇幾何學咧講的向量。無限 座標空間行列 - 濟項式