Ho̍k-kiōng-tam

佇 (Tī)數學 (sò͘-ha̍k)中 (tiong)，一 (chi̍t)个 (ê)複雜數 (ho̍k-cha̍p-sò͘) $z$ 的 (ê)複共擔 (ho̍k-kiōng-tam) (漢字: 複共擔，英語: complex conjugate) ${\overline {z}}$ ^[1]嘛 (mā)是 (sī)一个複雜數， ${\overline {z}}$ 的實補 (si̍t-pó͘)佮 (kah) $z$ 相仝 (sio-kâng)， ${\overline {z}}$ 虛部 (hi-pō͘)佮 $z$ 平大 (pêⁿ-tōa)但是 (tān-sī)符號 (hû-hō)對反 (tùi-hoán)的數 (sò͘)。徛算講 (Khiā-sǹg-kóng)，若準 (nā-chún) $a$ 佮 (kap) $b$ 是實數 (si̍t-sò͘)， $z=a+bi$ 的複共擔就 (tiō)是 ${\overline {z}}=a-bi$ 。比論講 (Pí-lūn-kóng)，

{\textstyle {\overline {-4+3i}}=-4-3i}

{\textstyle {\overline {8}}=8}

(實數的複共擔是伊 (i)家己 (ka-kī))

{\textstyle {\overline {2i}}=-2i}

(純 (sûn)虛數 (hi-sò͘)的複共擔是伊的對反數)

咱 (Lán)若 (nā)用著 (iōng-tio̍h)極做標 (ke̍k-chò-piau)表示 (piáu-sī)，會使 (ē-sái)按呢 (án-ne)定義 (tēng-gī)複共擔:

{\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }

其中 (kî-tiong)怹 (in)的福角 (hok-kak)符號對反。這 (Che)會使用 (iōng)Euler公式 (kong-sek)來 (lâi)證明 (chèng-bêng)。

名稱 (Miâ-chheng)[修改]

英語 (Eng-gí)conjugate源自 (goân-chū)Latin語 (gí)的coniugāre (“聯 (liân)做伙 (chò-hóe)，牛今 (gû-taⁿ)”)，由 (iû)con- (“做夥 (chò-hóe)”) +‎ iugāre (“ 接 (chiap)，縛 (pa̍k)，連 (liân)”) 構成 (kò͘-sêng)。

中國畫 (Tiong-kok-ōe)共 (kā)役做 (e̍k-chò)共軛。日本畫 (Ji̍t-pún-ōe)譯做 (e̍k-chò)共役。台灣話 (Tâi-oân-ōe)譯做共擔。

記號 (Kì-hō)[修改]

複共擔的記號有 (ū)兩 (nn̄g)種 (chióng): vinculum ${\overline {z}}$ 佮星點 (chheⁿ-tiám) $z^{*}$ 。

第 (Tē)1種數學家 (sò͘-ha̍k-ka)較 (khah)愛 (ài)用。

第2種物理學 (bu̍t-lí-ha̍k)，電機 (tiān-ki)工程 (kang-têng)，電腦 (tiān-náu)科學 (kho-ha̍k)等等 (téng-téng)領域 (léng-he̍k)較愛用。

一般化 (It-poaⁿ-hòa)[修改]

一个服 (ho̍k)行列 (hâng-lia̍t)的複共擔就是逐个 (ta̍k-ê)要數 (iàu-sò͘)攏 (lóng)加 (ka)伊變做 (piàn-chò)複共擔。比論講，

解析失敗 (𣍐八其函數「\begin{pmatrix}」): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2+3i & \sqrt{3} 伊 \\ 1-0.5i & -6\end{pmatrix} ,\quad \overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 2-3i & -\sqrt{3} 伊 \\ 1+0.5i & -6\end{pmatrix}.}

性質 (Sèng-chit)[修改]

對 (Tùi)任何 (jīm-hô)兩个複雜數 $z$ 佮 $w$ ，咱有

${\overline {\left({\overline {z}}\right)}}=z$ 。
${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ 。
${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$ 。
${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$ 。
${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ ，準講 (chún-kóng) $w\neq 0$ 。
$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}$ 。
$\left\vert {\overline {z}}\right\vert =\left\vert z\right\vert$ 。
$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ ，準講 $z\neq 0$ 。
${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$ ，對所有的 $n\in \mathbb {Z}$
$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$
$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}$ ，準講 $z\neq 0$ 。