Khó-ge̍k hâng-lia̍t

對 (Tùi)一 (chi̍t)个 (ê) $n$ 階 (kai)四方 (sù-hong)行列 (hâng-lia̍t) $A$ 來 (lâi)講 (kóng)，若準 (nā-chún)有 (ū)一个 $n$ 階四方行列 $B$ 使得 (sú-tek)

AB=BA=I_{n}

，

咱 (lán)就 (tiō)講 $A$ 是 (sī)可逆 (khó-ge̍k)行列 (漢字: 可逆行列，英語: invertible matrix)，其中 (kî-tiong) $I_{n}$ 是 $n$ 階單位 (tan-ūi)行列，乘法 (sêng-hoat)是一般 (it-poaⁿ)的 (ê)行列成發 (sêng-hoat); 而且 (jî-chhiáⁿ)這 (chit)个 $B$ 是唯一 (î-it)由 (iû) $A$ 括定 (koat-tēng) ͘的，咱就共 (kā)叫做 (kiò-chò) $A$ 的逆 (ge̍k)行列，記號 (kì-hō)是 $A^{-1}$ .^[1]

非特意 (Hui-te̍k-ì)行列[修改]

咱講，一个行列是特意 (te̍k-ì)行列 (漢字: 特異行列，英語: singular matrix) 或者 (he̍k-chiá)是綴化 (tòe-hòa)行列 (漢字: 退化行列，英語: degenerate matrix) 若 (nā)兼 (kiam)今 (taⁿ)若伊 (i)的行列式 (hâng-lia̍t-sek)等於 (téng-î)能 (lêng)。比論講 (Pí-lūn-kóng)，

A={\begin{pmatrix}3&4&7\\-1&-2&0\\1&0&7\end{pmatrix}}

是一个特意行列，因為 (in-ūi) $\det {A}=0$ 。

咱會使 (ē-sái)政明 (chèng-bêng)講，一个行列是非特意行列 (漢字: 非特異行列，英語: nonsingular matrix) 或者是綴化行列 (漢字: 非退化行列，英語: nondegenerate matrix) 若兼今若伊是可逆行列。請 (Chhiáⁿ)看 (khòaⁿ)下面 (ē-bīn)的可逆行列定理 (tēng-lí)。

性質 (Sèng-chit)[修改]

可逆行列定理[修改]

另 (Lēng) $A$ 是一个佇 (tī)體 (thé)K等 (téng)的 $n$ 階四方行列，以下 (í-hā)事述 (sū-su̍t)等價 (téng-kè):^[2]

$A$ 是可逆行列。
$A$ 有一个倒手 (tò-chhiú)逆 (伊.e。自在 (chū-chāi) $B$ 使得 $BA=I_{n}$ )，抑 (ia̍h) $A$ 有一个正手 (chiàⁿ-chhiú)逆 (伊.e。自在 $C$ 使得 $AC=I_{n}$ ); 怹 (in)佇咱遮 (chia)其實 (kî-si̍t)相仝 (sio-kâng)，攏 (lóng)是 $A$ 維一 (î-it)个逆行列 (伊.e。 $B=C=A^{-1}$ )。
$A$ 是非特意行列。
$A$ 是非綴化 (hui-tòe-hòa)行列。
$\det {A}\neq 0$ 。
$A$ 佮 (kap)單位行列 $I_{n}$ 逝等價 (chōa-téng-kè)。
$A$ 佮單位行列 $I_{n}$ 徛等價 (khiā-téng-kè)。
$A$ 有 $n$ 的門損 (mn̂g-sún)位置 (ūi-tì)。
$A$ 滿階 (móa-kai)，伊.e。 ${\text{rank}}(A)=n$
風橙色 (Hong-têng-sek) $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 拄拄 (tú-tú)好 (hó)有一个解 (kái)，是無聊 (bô-liâu)改 (kái) $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 。
對所有 (só͘-ū) $\mathbf {b} \in K^{n}$ ，方程式 (hong-têng-sek) $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 攏拄拄好有一个解。
$A$ 的佛 (hu̍t)是無聊的，伊.e。 $\ker(A)=\{\mathbf {0} \}$ 。
$A$ 的徛 (khiā)朗 (lóng)線性 (sòaⁿ-sèng)獨立 (to̍k-li̍p)。
$A$ 的徛恥開 (thí-khui) $K^{n}$ 。
$A$ 的徛空間 (khong-kan)就是 $K^{n}$ 。
$A$ 的徛組成 (cho͘-sêng) $K^{n}$ 的一組 (cho͘)基底 (ki-té)。
對 $\mathbf {x}$ 到 (kàu) $A\mathbf {x}$ 的線性寫上 (siá-siōng)是一个對 $K^{n}$ 到 $K^{n}$ 的雙社 (siang-siā)。
數字 (Sò͘-jī) $0$ 毋 (m̄)是 $A$ 的固有達 (kò͘-iú-ta̍t)。
$A^{T}$ 嘛 (mā)是可逆行列。 (所以 (Só͘-í)， $A$ 的逝 (chōa)嘛攏線性獨立，嘛恥開 $K^{n}$ ，嘛組成 $K^{n}$ 的一組基底.)
會使用 (ēng)有限 (iú-hān)的基本 (ki-pún)行列的成績 (sêng-chek)來表示 (piáu-sī) $A$ 。

其他 (Kî-thaⁿ)性質[修改]

另 $A$ 是一个 $n$ 階可逆行列，伊閣 (koh)有下面國獎 (kok-chióng)性質:

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ 。
$\left(kA\right)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ 對非零 (hui-lêng)詢量 (sûn-liōng) $k$
$\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ 。
$\det {A^{-1}}=\left(\det {A}\right)^{-1}$ 。

若 $A$ 是家己 (ka-kī)的逆行列 (伊.e.，解析失敗 (語法錯誤): {\displaystyle {{ruby|阿|A}} = A^{-1}} ) 或者 解析失敗 (語法錯誤): {\displaystyle A^2 = 伊} ，咱就共 $A$ 叫做對合 (tùi-ha̍p)行列。

一般線性拳 (kûn)[修改]

所有的 $n$ 階可逆行列和 (hām)行列成法 (sêng-hoat)合 (kap)做伙 (chò-hóe)，會 (ē)成做 (chiâⁿ-chò)一个群 (kûn)，叫做 $n$ 該 (kai)一般線性群。

參考 (Chham-khó)資料 (chu-liāu)[修改]

↑ Friedberg, S., Insel, A. & Spence, L. (2018). Linear Algebra (5th Edition). Pearson. ISBN 978-0134860244.
↑ Stover, C. "Invertible Matrix Theorem." MathWorld. [2022-3-15 ]

[1] Friedberg, S., Insel, A. & Spence, L. (2018). Linear Algebra (5th Edition). Pearson. ISBN 978-0134860244.

[2] Stover, C. "Invertible Matrix Theorem." MathWorld. [2022-3-15 ]

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Khó-ge̍k hâng-lia̍t

目錄

非特意 (Hui-te̍k-ì)行列[修改]